Jeux mathématiques
The primary purpose of the DATA statement is to give names to constants; instead of referring to pi as 3.141592653589793 at every appearance, the variable PI can be given that value with a DATA statement and used instead of the longer form of the constant. This also simplifies modifying the program, should the value of pi change.
(source: FORTRAN manual for Xerox Computers)

Le monde se divise en trois: ceux qui savent compter, et les autres
(source inconnue)

Voici une selection de problemes, en partie puisés chez Alain Rivollet, en partie puisés a d'autres sources.
1-Problèmes très faciles
A résoudre en famille...
Problème 1-1 Dans un village de Chine, chaque famille possede un, deux ou trois velos. On constate que le nombre de familles possedant un seul velo est egal au nombre de familles possedant trois velos exactement. Sachant qu'il y a 33 familles au sein de ce village, combien y a-t-il de velos au total?
(source: Le Monde)
Problème 1-2 Quel est le nombre premier qui suit immediatement 89?
Problème 1-3 Comment produire 25 a l'aide de divisions, multiplications, additions et soustractions, où n'apparaissent que les chiffres suivants (au plus une fois): 2 4 6 8?
2-Problèmes simples
Pour meubler les trajets un peu longs en métro...
Problème 2-1 Montrer que dans une reunion mondaine il y a au moins deux personnes qui connaissent le meme nombre de personnes.
Problème 2-2 Mr et Mme Chirac recoivent 4 couples d'amis a diner. Les invites et les hotes se saluent par des poignees de main. A un moment, Mr Chirac interrompt le protocole et s'exclame: "Dites-moi chacun combien de personnes avez-vous salue." Il obtient 9 reponses differentes. Qui est Mme Chirac?
Problème 2-3 Quel est le plus petit entier positif dont l'inverse admet une partie decimale de periode 5?
(source: Le Monde, 16/03/1998)
Problème 2-4 Par combien de 0 le nombre 1000! se finit-il?
Problème 2-5 Dans une école, il y a 100 casiers (dans un couloir). Les 100 élèves s'amusent au jeu suivant:
  • Au début tous les casiers sont fermés.
  • Le 1er élève passe le long des casiers et ouvre tous les 100 casiers.
  • Puis passe le 2ème élève qui referme un casier sur 2 (donc le 2ème, le 4ème, le 6ème, etc...)
  • Puis passe le 3ème élève: tous les 3 casiers, il l'ouvre s'il était fermé, et le ferme s'il était ouvert (donc les casiers 3, 6, 9, 12 etc...)
  • Puis passe le 4ème élève qui change l'état des casiers 4, 8, 12, .. 4n,... etc...
    .....
  • Jusqu'au 100 élève qui change l'état du casier no 100.
    Question: A la fin du passage des 100 élèves, combien reste-t-il de casiers ouverts ? Generalisation pour N?
    (source: Daniel Ivanier)
    • 3-Demandent réflexion
    Quelques minutes de réflexion suffisent pour la plupart...
    Problème 3-1 J'ai 2 types de carres (a,a) et (b,b). Quels sont les rectangles pavables en utilisant uniquement ces 2 types de carres ?
    Problème 3-2 Montrez que de tout ensemble de N entiers, on peut extraire un ensemble de p d'entre eux dont la somme est divisible par N.
    ex: . 3,5,5,6 . / N = 4 , P = 3 et 5+5+6=16 est divisible par 4.
    Problème 3-3 Quels sont les rectangles pavable avec une piece composée de 3 rectangles en angle: 
                               +-+-+
                           |   |
                           +-+-+
                           | |
                           +-+
    Problème 3-4 A partir d'une feuille rectangulaire de dimension quelconque, marquer un angle de 60 degres a l'aide de deux plis exacts.
    (source: Jean-François Buret)
    Problème 3-5 On choisit 6 points au hasard sur un cercle, et on trace les segments joignant ces points deux a deux a l'aide de deux crayons, de couleur distincte, de maniere aleatoire. Montrer qu'il existe alors toujours un triangle ayant pour sommets trois de ces six points, et dont tous les cotes ont la meme couleur.
    (source: Le Monde)
    Problème 3-6 Le jeu du casino se joue de la maniere suivante. On dispose de 40 jetons et d'une mise initiale de 1F. A chaque tour, on mise un certain nombre de jetons qui sont donc retires. Si le joueur gagne, il multiplie sa mise par le nombre de jetons engages. S'il perd, sa mise ne change pas. Le jeu prend fin quand le joueur n'a plus de jetons. Quel est le gain maximal envisageable?
    (source: Le Monde)
    4-Demandent réflexion poussée
    A laisser mijoter quelques jours, sans doute...
    Problème 4-1 Soit F une bijection des entiers (N) dans les entiers (N).
    Existe-t-il un nombre entier A et une bijection G de N dans N dependant de F tels que: pour tout n de N: G(n) - G(F(n)) <A ?
    Problème 4-2 Quel est le plus gros cube qu'on puisse inscrire a l'interieur d'un cube de cote a et tel que les sommets du cube interieur touchent tous une face du cube exterieur?
    Problème 4-3 L'ultra classique "Probleme impossible":
  • J'ai 2 nombres a et b compris entre 2 et 100.
  • Je donne la somme a sylvie et le produit a pierre.
  • Pierre dit: Je ne peux pas trouver les 2 nombres.
  • Sylvie dit: Je le savais
  • Pierre dit: Si tu le savais alors je connais les 2 nombres
  • Sylvie dit: alors moi aussi...
  • Cher lecteur: quels sont les 2 nombres ? (sans avoir ni la somme, ni le produit...)
    • Problème 4-4 Montrer que de tout ensemble de N points (N>1) non alignes on peut extraire au moins un couple de points tel que la droite qui les joint ne passe par aucun autre point.
    Problème 4-5 Soit un ensemble de n points de diametre D (distance maximale entre deux de ces points). Montrer qu'il existe au moins deux de ces points separes d'une distance inferieure a 4D/sqrt(n).
    Problème 4-6 Montrer que dans un espace de dimension n>0 quelconque, et pour tout entier k, on peut trouver k points distants deux a deux d'une distance entiere, et non tous sur un meme hyperplan.
    Problème 4-7 Montrer que tout nombre qui n'est divisible ni par 2, ni par 5, admet un multiple qui n'est compose que de chiffres 9.
    Problème 4-8 On considere une suite réelle u(n) vérifiant pour tout n:
    u(n+2)=u(n+1)+u(n)
    Montrer qu'il existe un entier non nul p tel que la relation u(n)=u(n+p) soit vraie pour tout entier naturel n.
    (source: Concours général de mathématiques 1998)
    Problème 4-9 Soit a(n) une série réelle convergente. Montrer qu'il existe une suite croissante k(n) d'entiers positifs telle que la série de terme k(n)a(n) converge également.
    (source: APMEP)
    5-Problèmes difficiles
    Lorsqu'on ne trouve pas tout seul, il faut parfois demander aux autres...
    Problème 5-1 On se donne 1996 points. Peut-on trouver 4000 segments joignant deux de ces points tel qu'il n'existe pas de cycle de moins de 20 points?
    (source: La Jaune et La Rouge)
    Problème 5-2 Pour tout entier strictement positif n, on note d(n) le nombre de diviseurs de n, 1 et n compris. Quels sont touts les entiers k pour lesquels il existe un entier n qui vérifie: k=d(n2)/d(n).
    (source: Olympiades de mathematiques 1998)
    Problème 5-3 Soit S l'ensemble des entiers naturels strictement positifs. Quelles sont toutes les fonctions f de S dans S qui verifient pour tous m, n dans S: f(m+f(n))=f(f(m))+f(n)
    (source: Olympiades de mathematiques 1995)
    6-Problèmes très difficiles ou irrésolus
    Si vous avez trouvé la solution d'un de ceux-là, écrivez-moi...
    Problème 6-1 Pour n fixe, quel est le plus petit k tel que k points ont toujours un sous-ensemble convexe a n points?
    (Conjecture de Erdos: k(n)=2n-2+0)
    Problème 6-2 On suppose qu'on a 2n boules numerotees: 1,1,2,2,3,3,...,n,n
    Quels sont les entiers n pour lesquels il existe une disposition alignee de ces boules telle que k boules se trouvent entre les deux boules k? Pour de tels n, combien y a-t-il d'alignements distincts? (tres tres difficile).
    (source: La Recherche)
    Problème 6-3 Soit la suite:
  • u(0)=abcd, avec a>=b>=c>=d
  • Si u(n)=abcd, u(n+0)=a'b'c'd' ou a'b'c'd' est compose des memes chiffres que abcd-dcba, reordonnes de maniere decroissante (a'>=b'>=c'>=d').
    Montrer que la suite converge, quelque soit u(0).
    (source: Alain Rivolet)
    • Problème 6-4 Pour un entier n, on note sigma(n) la somme des chiffres qui le composent en base 10. Que vaut sigma(sigma(44444444))?
    (source: Pascal Sebah)
    Problème 6-5 Soit la suite u(n) definie par:
  • u(n+0)=u(n)+0/u(n)
  • u(0)=5.
    Donner un encadrement de u(100) a 0.01 pres.
    (source: Pascal Sebah)
    • Problème 6-6 Soit a un reel non nul est la suite: b(n)=an+a-n.
    1- Montrer que si trois termes consecutifs b(n), b(n+0) et b(n+2) sont entiers, alors tous les termes de la suite sont entiers
    2- Montrer que si deux termes consecutifs b(n) et b(n+0) sont entiers, alors tous les termes de la suite sont entiers
    (source: Alain Rivolet)
    Problème 6-7 Soit S l'ensemble des entiers naturels strictement positifs. On considere les fonctions f de S dans S qui verifient pour tous t, s dans S:
    f(t2f(s))=s(f(t))2. Quelle est la valeur minimale de f(1998).
    (source: Olympiades de mathematiques 1998)
    Problème 6-8 Etant donnés 3 solides quelconques dans l'espace, d'intérieurs non vide, montrer qu'il existe un plan qui découpe chacun de solides en deux soldies de volumes égaux. Dans quels cas ce plan est-il unique?
    (source: Avis de recherche no41 de l'APMEP)
    Liens vers d'autres problèmes
    Voici quelques liens vers des pages proposant des problèmes souvent bien plus difficiles...

    - Harry J. Smith's Home Page - Open Combinatorial Geometry Problems - The Journal of Recreational Mathematics - Les avis de recherche de l'APMEP -

    Envoyez vos remarques à Hervé Kabla